從沙中可以見到世界嗎？

日期: 2007/2/8

得獎感言：

　　「部分等於全部」，直覺不合理，但是在無窮的世界卻成立。以有限的感官經驗來推論無窮的現象，就如莊子所言：「以有涯逐無涯，殆矣」。或許康特爾洞悉柏拉圖的理型世界，建構出同時代無法接受，卻讓後代的數學受惠良多的集合論。這篇文章介紹了他與其集合論。

　　「無論什麼事得之於人者多，出之於己者少」，要感謝的人太多了，就謝天吧!得之於陳之藩先生的文句，就當作謝辭，這樣前後一致，與追求內在一致性的數學精神契合。

陳昱成

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從沙中可以見到世界嗎？

科普寫作獎三獎　作者：陳昱成

　　To see a world in a grain of sand
　　 And a heaven in a wild flower,
　　 Hold infinity in the palm of your hand
　　 And eternity in an hour.　　 (William Blake 1757 - 1827)

　　　　從沙中見到世界；
　　　　 於野花中見天堂。
　　　　 無窮掌握於掌心；
　　　　 瞬息間即是永恆。

　　詩人發揮無窮的想像力，由小小的沙子、美麗的小花連結到浩瀚的世界與遙遠的天堂國度，寫下足供後人傳頌的佳句。當然除了充滿繆思情懷的詩人，對浩瀚的無窮有著無限的遐思外，自古而今對只能想像，而無法掌握的「無窮」(infinite)的概念，並不因為無法可以一個一個數的完，而放棄對它的嚮往，相反的透過豐富的想像力，無窮的描述有不同的面向出現。

　　古代典籍《列子‧湯問篇》記載愚公移山一事，裡面有一段描述，鄰人智叟笑他：「以其殘年餘力，不能毀山之一毛，其如土石何？」愚公回答：「雖我之死，有子存焉；子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫。子子孫孫，無窮匱也。而山不加增，何苦而不平？」好個『無窮匱也』，雖然每次只能搬運一點點，但透過無窮多次的累積，何苦山不平呢?近代的微積分中的積分求曲線面積，不就也是將無窮多的極小的區域，累積加總而得實際面積。

　　之後南北朝的數學家劉徽注解《九章算經》中求「圓田」面積的第一句話「按：半周為從，半徑為廣，故廣縱相乘為積步也。」亦即以圓周之半為長(從)，半徑為寬(廣)，長乘寬就是圓的面積(積步)。接著繼續解釋為何圓面積可以如此計算，「又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧半徑，六之，則得二十四觚之冪。」結著結論說：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣！ 」透過無窮多次的分割，從正六邊形(六觚)開始，正十二邊形(十二觚)到正二十四邊形(二十四觚)，以致於「不可割」，圓內接的正多邊形終於與「圓周合體而無所失矣」，利用這無窮正多邊形，論證圓面積的公式。但到底是多少次才算是「不可割」，「無窮多次嗎！？」，而此處的「不可割」與愚公移山的「無窮匱也」的無窮多代，兩者可以比較嗎，如果可以比較的話，到底是哪一個的「無窮」比較大，怎麼比?文學家可以透過豐富的辭彙來形容「無窮無盡」的觀念，「彼蒼者天，曷其有極！」形容悲傷如天一樣，無窮無盡，但也常用「天外有天」來勉人要謙虛，但是已經是「無極」，在外部尚有另一個「更無極」的天，暗示「無窮」之間仍存有大小之分，這是文學修辭的「誇張」法，或真是「無窮大」之外尚有比它更大的『大無窮大』，對這「無窮」的未知，近代的數學家又是如何看待呢？畢竟大數學家希爾伯特(Hilbert,1862-1943)說過數學是無窮之學，對無窮概念的探討，怎能讓文學家獨自擅美於前呢!

　　印度的佛經中，在描述無窮多的數目，有一個辭彙叫「恆河沙數」，恆河的沙子當然多到數不清，實際上也無法一個一個的細數，因此用來形容無窮大的數目，並不會引起質疑。而也因為對這些非常大的數，一個一個的數，是不可能，在數學上當然要另闢蹊徑，否則掉在數來數去的泥淖，窮一生之力，還是算不出個所以然來。

　　在對無窮的探索過程中，德國數學家康特爾(Cantor, 1845~1918)的貢獻絕對是無以倫比的，現在數學家對無窮的概念，幾乎奠基於康特爾的理論。他最為人所熟悉的成就，就是創立了現代集合論，並且利用集合的觀念，突破以往對無窮的困惑，開啟我們對無窮有等級的概念，對無窮觀念的變革，有著革命般的衝擊，希爾伯特就曾讚嘆康特爾：「誰也別想把我們從康特爾建立的樂園中趕走。」恭維了康特爾的偉大貢獻，當然要問，他到底用怎麼的方法來「數」「無窮」，而且還數到可以有大小之分？！

　　康特爾的基本概念是利用對應(correspondence)，特別是1-1對應(one- to -one correspondence)，而所謂的1-1對應，有人稱為對射或雙射(bijective mapping)，可以利用圖一的對應來說明：A中的每一個元素，在B中恰有一個元素與之對應，而且B中的每一個元素在A中也恰有一個與之對應。當兩個元素個數是有限的集合，兩者之間若存在1-1對應，顯然兩個集合的元素個數相同，這樣的說法，與一般的經驗法則並不會衝突，康特爾特別之處，在於將這種1-1對應的觀念，擴展到元素個數是「無窮」的無限集合，只要任兩個集合之間存有1-1對應，就認定兩者的元素個數相同，而集合的元素個數，康特爾稱之為此集合的基數(cardinal number)，因此也可以說當兩個集合能1-1對應時，這兩個集合的基數相等。

圖一： 1-1對應圖

　　集合可以依據元素個數分成兩類，一是元素個數有限的有限集合(finite set)，另一類則是元素個數無窮的無限集合(infinite set)。在康特爾之前的數學家多接受無窮是「相同的大小」的假設，康特爾以所有自然數所形成的無窮集合(一般以N表示)為基礎，若一個無限集合能與N形成1-1對應，則稱為此集合為可數無窮集(countably infinite set)，兩個集合的基數相等，並以 (讀作aleph-null)代表N的基數。像上文的「不可割」與愚公移山的「無窮匱也」，從1-1對應的觀點，皆可與自然數集N對應，兩者基數相同，都屬於可數無窮。而其他無法和自然數集N形成1-1對應的無限集合就稱不可數無窮集(uncountably infinite set)，且其基數大於 。關於不可數無窮集的基數大於 ，簡單來講就是自然數集中的每一個不同的自然數都可以對應到不可數無窮集的不同元素，但是不可數無窮集中會有元素沒有自然數可以與之對應，這種無法1-1對應的情況，直覺上說明，不可數無窮集元素的數目要比自然數集N的元素個數要「多」。圖二的對應圖，說明集合N到集合U無法1-1對應，U的基數顯然大於N的基數。

圖二：非1-1對應

　　康特爾利用這種1-1對應的觀念，證明了有理數集合Q可與自然數集N 形成1-1對應，因此有理數集合是可數無窮集，而實數集合R是不可數無窮集，也就是實數的無窮較有理數的無窮更「大」，「天外還真有天」呢!實數是不可數無窮集的原始證明發表於1874年，使用了較為複雜的歸納反證法。1891年他用所獨創的對角線法(diagonal argument)重新證明了這個定理，這種對角線化的技巧，常被後代的數學家引用，而康特爾成為數學史上第一證明無窮是有等級之分的數學家。

　　利用這種「數」無窮的方法，可以說明不論線段的長短，都會擁有同樣多的點，從圖三可以發現兩個線段上的點建立起1-1對應的關係。

圖三：任意兩線段的1-1對應

　　根據這樣的觀點，我們可以說，奈米線段長的點與一千萬光年長的線段的點是一樣多，再進一步講，整條無限長的線與單位線段的點一樣多，這就是我們常說的數線上任意區間的實數與數線上的實數是一樣多!這樣的結論，實在令人訝異與難以想像，不過看到下一段文字，你就會覺得這種感覺是正常的。

　　康特爾利用1-1對應證明了單位線段的點竟然與邊長為單位長的正方形有相同的點數，很明顯違反一般「線、面」層次的概念，當初康特爾證得這樣的結論時，也感到非常的震驚，從他寫給他的數學家友人戴德金(Dedekind,1831-1916)的信中就可以發現，信中有一句名言：我看到它，但我幾乎不敢相信它!(I see it, but I don’t believe it!)。實際上，康特爾這種劃時代的發現，不僅自己都「幾乎不敢相信」，與他同時代的很多數學家對他的作品，根本是無法接受，讓他飽受精神上的折磨。

　　從無窮集合的討論，可以發現多少會和我們直覺的想法不符，單位線段與單位正方形的1-1對應關係，可以進一步推廣到任意區間線段的點可以和任意n維空間(n-dimensional space)的點1-1對應，也就是說它們的點數一樣多。這點確實超乎我們的直觀想法，不過在康特爾所為我們建構的無窮世界裡，它的確發生了。而在這個無窮的世界，一粒微小的沙子的空間，與整個世界的所含的「點」的數目是一樣多。所以「從沙中見到世界；於野花中見天堂」，不僅是詩人豐富想像力的動人文學詩句，也隱涵著1-1對應的數學論證。而如果把數線想成是時間軸，微小的區間代表的意義就是「瞬息間」，和無限長的數線可以1-1對應，那麼「無窮掌握於掌心；瞬息間即是永恆」，不就是這種現象的真實寫照嗎?本文開頭的詩人美麗詩篇，竟然會與康特爾所建的無窮世界，有著如此密切的吻合，或許是他們思想均不為「有窮」的經驗所限，而馳騁於無限的思想空間，因此能留下「無窮」的觀點，供後人玩味讚賞，並成為人類文化的重要瑰寶。「思想有多寬廣，世界就有多大」，作為本文的結語，應該雖不中亦不遠矣吧!

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